WisFaq!

Twee polynomen na elkaar toepassen

Ik moet het volgende vraagstuk oplossen, maar ik kom er niet helemaal uit. Stel, je hebt twee polynomen f en g van een n-de respectievelijk m-de graag:

f(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + ... + a_ntⁿ
g(t) = b₀ + b₁t + b₂t² + ... + b_mt^m

Nu maak ik de polynoom w(t) volgens w(t) = f(g(t)). w(t) is dus een polynoom van orde n+m:

w(t) = c₀ + c₁t + c₂t² + ... + c_(n+m)t^(n+m)

Nu heb ik de coëfficiënten a en b van de polynomen f en g. Hoe kan ik dan vanuit die coëfficiënten rechtstreeks de coëfficiënten c van de polynoom w berekenen? Waarschijnlijk spelen sommaties en de driehoek van Pascal een rol hierbij, maar ik zie nog even niet hoe ik dit voor elkaar kan krijgen. Is er iemand die dit weet of iemand die weet of dit al eens eerder door een ander is uitgezocht?

Jan Gerretzen
2-10-2009

Antwoord

Het is duidelijk dat c_k = 1/k! (d/dt)^k f(g(t)) in t=0.

Die afgeleide wordt in het algemeen gegeven door de formule van Faa di Bruno.

Misschien help dat?

cl
3-10-2009