WisFaq!

Deelbaarheid en priemgetallen

hoi,

in de lessen wiskunde zijn we bezig met priemgetallen en modulorekenen en dergelijke.

daarbij heb ik een paar vraagjes bij een aantal oefeningen en ik hoop dat jullie mij kunnen helpen.

1) bewijs dat voor geen enkel natuurlijk getal 9ⁿ+ 63 deelbaar is door 72. Volgens een vriend kan je dit met inductie aantonen, maar dat lijkt niet zo goed te lukken.

2)Bewijs dat n/3 + n²/2 + n³/6 voor alle natuurlijke n een natuurlijk getal is. Je moet dus aantonen dat 2n+3n²+n³ deelbaar is door 6. Zou je dit kunnen aantonen door te bewijzen dat dit nooit in een restklasse van 6 voorkomt?

groetjes,

Arjen

Arjen
20-9-2009

Antwoord

Bij 1) moet je laten zien dat 9ⁿ⁺¹+63 deelbaar is door 72 als geldt dat 9ⁿ+63 deelbaar is door 72 (inductieveronderstelling). Dat gaat zo:

9ⁿ⁺¹+63
9·9ⁿ+63
8·9ⁿ+9ⁿ+63

Nu jij weer!

Bij 2) kan je 2n+3n²+n³ schrijven als n(n+1)(n+2). Als je kan laten zien dat dit altijd deelbaar is door 2 en door 3 ben je er wel uit denk ik.

WvR
20-9-2009