Ik heb het onderstaande figuur aangepast uit hetzelfde document waar ik de vorige keer naar heb verwezen (galileo.math.siu.edu).
Je kunt je als volgt voorstellen wat er gebeurd is: je stopt een punaise in de oorsprong en draait met het assenstelsel tegen de klok in. Dan heb je over een bepaalde hoek, zeg $\theta$ gedraaid. De coördinaten van $A$ en $B$ zijn hierdoor veranderd, die nieuwe punten geef ik aan met $A'$ en $B'$.
Als je naar de rode driehoek kijkt, dan zie je dat hij rechthoekig is. En vanuit punt $A'$ kan men op de $x$-as en $y$-as projecteren.
In die rode driehoek geldt dus dat $\cos(\theta) = \frac{\mbox{aanliggende rechthoekszijde}}{\mbox{schuine zijde}}$ dus $\cos(\theta) = \frac{\mbox{aanliggende rechthoekszijde}}{1}$. En de aanliggende rechthoekszijde is de $x$-coördinaat van $A'$. Dus $x_{A'} = \cos(\theta)$
De overstaande rechthoekszijde t.o.v. $\theta$ is de $y$-coördinaat van $A'$.
Dus $\sin(\theta) = \frac{\mbox{overstaande rechthoekszijde}}{\mbox{schuine zijde}}$ m.a.w. $\sin(\theta) = \frac{\mbox{overstaande rechthoekszijde}}{\mbox{1}}$. Dus de overstaande rechthoekszijde heeft als lengte $\sin{\theta}$. Dus $y_{A'} = \sin(\theta)$.
Datzelfde truukje haal je bij de groene driehoek uit, waarbij je je wel moet realiseren dat als je de overstaande rechthoekszijde t.o.v. $\theta$ op de x-as projecteert dat je in het negatieve gedeelte van de $x$-as ligt.
In de vectorvoorstelling hebben we dus het volgende $\color{red}{{1 \choose 0} \to {\cos(\theta) \choose \sin(\theta)}}$ en $\color{green}{{0 \choose 1} \to {-\sin(\theta) \choose \cos(\theta)}}$.
En aangezien ${x \choose y} = x \cdot \color{red}{{1 \choose 0}} + y \cdot \color{green}{{0 \choose 1}}$,
moet gelden dat ${x \choose y} = x \cdot \color{red}{{\cos(\theta) \choose \sin(\theta) }} + y \cdot \color{green}{{-\sin(\theta) \choose \cos(\theta)}}$.
Oftewel ${x \choose y} = {x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta) \choose x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta)}$.
Mocht je vragen hebben, reageer gerust!
Davy
13-9-2009