WisFaq!

Re: Meetkundige reeks

Som = ( 1+ 2.(5/6)¹+ 3·(5/6)²+...n.(5/6)^n-1)
(5/6).som= 5/6 + 2.(5/6)² (n-1).(5/6)ⁿ-1 + (n)·(5/6)ⁿ

dit is correct hoor want n.(5/6)ⁿ-1 . (5/6) = n·(5/6)ⁿ
Ik gebruik de factor n omdat het doorloopt tot het n(de) getal. en de vraag is voor n = ¥.

je krijgt dan denk ik:
1 som - 5/6 som = 1/6 som. ( dus neit 4/6 wat ik schreef)

1/6 som = 1+ (5/6)¹ + 5/6² ....(5/6)^n-1 - n.(5/6)ⁿ

dus 1/6 som = 1-(5/6)ⁿ /(1-(5/6) - n.(5/6)ⁿ maar dit alles was 1/3 van het geheel eigenlijk. dus. vermenigvuldigen met 2.
1/2 som = 1-(5/6)ⁿ /(1-(5/6) - n.(5/6)ⁿ dan limiet bepalen als n gaat naar ¥. voor het eerste deel is dat 6. voor het 2e deel 0 ( maar hoe bewijs ik dat overigens.) dat de limiet van n.(5/6)ⁿ = 0 dan nog maal 2 omdat ik het over de helft had. dus limiet nadert dan naar 12. de fout die ik maakte was 1-5/6 = 4/6 denk. maar dan zit ik nog steeds met die limiet. n(5/6)ⁿ hoe bewijs ik dat die limiet naar 0 gaat. 0 n(5/6)ⁿ ?? insluitstelling zie niet hoe. standaarlimiet zie ik ook niet. hoe bewijs ik dit?

mvg jan.

jan hendrikx
7-9-2009

Antwoord

De limiet waar je naar vraagt is wel degelijk een standaardlimiet. Hij wordt wel als volgt geformuleerd: Limiet n/(aⁿ) = 0 als a1 is en n naar oneindig gaat.
In jouw situatie is a = 6/5.
Er zijn natuurlijk meerdere bewijzen voor te vinden en dit is er één van.
Bekijk niet de rij met term a_n = n/(aⁿ) maar de rij Öa_n = (Ön)/(Öa)ⁿ

Omdat Öa 1 is, kun je schrijven Öa = 1 + h
Dat leidt dan tot Ö(aⁿ) = (1+h)ⁿ en dit is groter dan 1+nh volgens een bekende ongelijkheid (die meestal in de eerste kennismaking met volledige inductie wordt bewezen).
Het gevolg is dat Öa_n = (Ön)/(1+h)ⁿ en dat is dan (Ön)/(1+nh) (Ön)/nh = 1/(hÖn)
Voor n naar oneindig nadert dit laatste naar 0, dus ook de rij Öa_n en dus ook de rij a_n
Bedenk dat het over positieve termen gaat, want anders zou dit laatste niet hoeven kloppen.

Het zijn vaak min of meer gekunstelde bewijzen, maar eenmaal vastgesteld valt het resultaat in de rubriek standaardlimieten.

MBL
7-9-2009