WisFaq!

Driehoeksongelijkheid

Waarom staat er een -teken in de driehoeksongelijkheid van Cauchy-Schwarx?
(I.p.v. een =-teken. Dus: waarom kan de som van de lengten van vector a plus vector b ook kleiner zijn dan de som van de afzonderlijke lengten?)

Alvast bedankt!

Wilma
6-9-2009

Antwoord

Het isgelijkteken geldt in feite minder vaak dan het kleinerteken!
Als je vectoren opvat als pijlen die vanuit de oorsprong in een assenstelsel vertrekken, dan is eenvoudig in te zien dat de lengte van een som kleiner kan zijn dan de som van de lengtes.
Neem als eerste vector bijvoorbeeld de vector naar het punt (-2,0) en als tweede de vector naar het punt (2,0).
Hun optelsom is de nulvector met lengte 0, terwijl de individuele vectoren lengte 2 hebben. Daar 04 juist is, is de mogelijkheid aangetoond.

Als de vectoren a en b niet op één lijn liggen (dus onafhankelijk zijn), dan ontstaat vector a+b op de bekende manier als diagonaal van het parallellogram waarvan a en b de zijden zijn. In de vlakke meetkunde kun je een stelling vinden die zegt dat de lengte van een zijde van een driehoek altijd kleiner is dan de som van de lengtes van de twee overige zijden en ook die stelling heet (uiteraard) de driehoeksongelijkheid.

Wanneer geldt nu het gelijkteken? Als a en b op één lijn liggen en dezelfde richting hebben, dan is de lengte van de som gelijk aan de som van de lengtes. Teken het maar en je ziet het.

MBL
6-9-2009