WisFaq!

Re: Epsilon-delta methode

Oké, dat maakt het wel wat duidelijker!

Nog vraag over twee specifieke voorbeelden:

Hoe zit het dan bijvoorbeeld met f(x)=(x²+x-2)/(x-1), als je moet bewijzen dat deze continu is in x=1.
Je kunt bij ontbinden in factoren weliswaar de x-1 wegdelen, maar mag dat om de functie in x=1 continu te maken ook al kan x in de oorspronkelijke formule geen 1 zijn?


Hoe kun je dan bewijzen dat de formule f(x)=|x|/x níet continu is (in x=0)?

Alvast bedankt!

Wilma
5-9-2009

Antwoord

Omdat bij beide functies de functiewaarden f(1) resp. f(0) blijkbaar niet (apart) gedefinieerd zijn, is er nooit sprake van continuïteit.
De eerste functie heeft als grafiek de rechte lijn met vergelijking y=x+2, en bij x=1 valt er dan een gaatje in de grafiek. Dat gaatje is het punt (1,3).
Als nu wordt afgesproken dat f(1) = 3, dan heb je de functie continu gemaakt bij x=1. Men noemt x=1 dan ook een ophefbare discontinuïteit. Elke andere afgesproken waarde voor f(1) maakt de functie niet continu bij x=1 en als er over x=1 helemaal niets wordt afgesproken, dan is er per definitie nooit sprake van continuiteit en blijft het gat aanwezig.

De tweede functie heeft als grafiek een samenstel van twee (halve) lijnen. Rechts van x=0 is het de lijn y=1 en links van x=0 is het de lijn y=-1.
De punten (0,-1) en (0,1) horen er niet bij!
Er zit dus een sprong van 2 tussen de twee afzonderlijke stukken van de grafiek, waarmee de continuiteit van tafel is.
En hier kun je voor f(0) afspreken wat je wilt, je raakt die sprong nooit kwijt.

Het verschil tussen beide voorbeelden is: in voorbeeld 1 zit er in een rechte lijn één perforatie en die kun je opvullen door gewoon af te spreken dat f(1) = 3.
Bij voorbeeld 2 is er een sprong van 2 in de grafiek aanwezig en dat krijg je nooit opgevuld met één extra punt.

MBL
6-9-2009