WisFaq!

Epsilon-delta methode

Ik moet bewijzen dat een formule continu is (mbv de delta-epsilon-methode). Volgens mijn aantekeningen moet ik gebruik maken van het volgende:

Probeer een positieve constante c te vinden, met de eigenschap |f(x)-f(a)|c.|x-a|.
Bij gegeven egroter dan nul kun je dan ¶=e/c kiezen. Voor elke x met |x-a|kleiner dan ¶ geldt nl. dat |f(x)-f(a)|c.|x-a|kleiner dan c.e/c=e.

Ik snap dit niet:
- Waarom moet er een constante worden gevonden? Heeft dat ermee te maken, dat wanneer je de omgeving van a klein houdt, de grafiek de raaklijn nadert? Of zit ik nu helemaal de verkeerde kant op te denken?
- Waarom geldt: |f(x)-f(a)|c.|x-a|kleiner dan c.e/c=e? Als |f(x)-f(a)| gelijk is aan e, spreekt dit toch zichzelf tegen?

Alvast bedankt!

Wilma
4-9-2009

Antwoord

De gebruikelijke definitie van continuïteit is: een functie f is continu in x = a als bij elke e0 een d0 bestaat zodanig dat |f(x) - f(a)|e zodra |x - a|d.
Kort door de bocht geformuleerd betekent het: als x maar dicht genoeg bij a in de buurt komt, dan komt f(x) ook heel dicht bij f(a) in de buurt. Overigens moet f(a) dus wel gedefinieerd zijn!
De vorm waarmee je ons benadert is een variant hierop.
Veronderstel eens dat je in een concreet geval waar gevraagd wordt continuïteit te bewijzen inderdaad een (positief) getal c kunt vinden zó dat geldt (f(x) - f(a)| c.|x - a|
Wanneer je nu een positieve e kiest en daarna kies je d = e/c , dan is deze d in elk geval positief en dan geldt dat als |x-a|d is,
|f(x)-f(a)| c.|x - a| c. d = c . e/c = e zodat je precies aan de e-d-voorwaarde voldoet.
De clou is dus om in concrete situaties zo'n getal c te vinden. In de praktijk zal dat bij lastige functies niet altijd eenvoudig zijn, maar gelukkig kunnen continuïteitsbewijzen ook zonder die e-d- kwestie aangepakt worden, namelijk via limieten.

MBL
5-9-2009