WisFaq!

Definities sigma-algebra

Hallo wisfaq,

Ik moet het volgende aantonen...

Zij S een ring van deelverzamelingen van X met XÎS. Bewijs de equivalentie van:

a) S is een s-algebra
b) Als A1, A2,... ÎS en AnA, dan AÎS
c) Als A1, A2,... ÎS en An¯A, dan AÎS
d) Als A1, A2,... ÎS en AnÇAm=Æ zodra n¹m, dan ÈAn ÎS

Tot nu toe heb ik het volgende gedaan:

a)Þb)

Zij gegeven A1, A2,... ÎS en AnA
Ofwel: A1ÌA2Ì... en ÈAn=A
We weten dat S een s-algebra is dus geldt ÈAnÎS en dus AÎS ??????

b)Þc)

We weten dat geldt:
Als A1, A2,... ÎS en AnA, dan AÎS
Zij nu B1, B2,... ÎS met B1:=A1^c, B2:=A2^c,... Dan geldt ÇBn=A^c ofwel Bn¯A^c en A^cÎS want AÎS????

Hoe kan ik c)Þd) aanpakken??

d)Þa) lijkt me triviaal....

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen!
Alvast bedankt!

Groet

job
4-9-2009

Antwoord

Je bewijs van a naar b is in orde; het bewijs van b naar c ook. Het is niet per se nodig van c naar d te gaan; van c naar b is net zo makkelijk als van b naar c. Van b naar d: omdat S een ring is zit voor elke n de vereniging B_n van A₁, ..., A_n in S; nu kun je b toepassen op de B_n. Van d naar a: gegeven een willekeurige rij elementen A₁, A₂, ... van S maak je B_n=A_n minus de vereniging van de A_i met in. Pas d toe op de B_n.

kphart
10-9-2009