WisFaq!

Lesliematrix

Goedenavond,
Ik heb het volgende probleem:
Bij een populatie dieren zijn voor de verschillende leeftijdsklassen tellingen gedaan. De resultaten staan in onderstaande tabel

leeftijd     aantal      aantal      aantal nakomelingen
(maanden)    exemplaren  exemplaren  per 100 exemplaren
             per 1-1-'95 per 1-2-'95 tussen 1-1 en 1-2-'95

0-1         1175        1270         0
1-2         1210        1115         38
2-3         1040        1030         46
3-4          670         980         48
4-5           60          65         16

Neem aan, dat voor elke leeftijdsklasse de geboorte- en sterftecijfers niet veranderen.

Er moesten een paar berekeningen gedaan worden, die lukten.
Ik heb de Lesliematrix opgesteld:

   0    0.38   0.46   0.48   0.16
   0.95   0      0      0      0
M =0    0.85     0      0      0 
   0      0    0.75     0      0
   0      0      0     0.10    0

Toen kwam er een vraag waar ik problemen mee heb:

"Bij Lesliematrices is het bekend, dat bij toename van de populatie vanaf zeker tijdstip deze toename exponentieel kan verlopen. Met behulp van een matrixvermenigvuldiging kan de totale populatie per maand berekend worden".

Geef een matrix waarmee deze totale populatie berekend kan worden.
Ik kom niet verder dan(1 1 1 1 1 )*M^..n.*
1175
1210
1040
670
60
Is dit juist? Hoe kan ik deze vermenigvuldiging dan in één matrix vatten?

Alvast bedankt,
Katrijn

Katrijn
30-8-2009

Antwoord

Volgens mij zit er een foutje in de Lesley matrix.
Die 0.75 kan niet kloppen. Deze moet gelijk zijn aan 980/10400.94

De vector p=
beschrijft de populatieverdeling op 1-1-95.
(1,1,1,1,1)*p beschrijft de totale populatie op dat moment.

M^n*p beschrijft de populatieverdeling n maanden later.
(1,1,1,1,1)*M^n*p geeft dan de totale populatie n maanden later.

De matrix die je zoekt is dan (1,1,1,1,1)*M^n;
Door deze te vermenigvuldigen met p krijg je de totale poplatie n maanden later.

Voor bijvoorbeeld n=10 vind ik dan:
(1,1,1,1,1)*M^10=(1.6138,1.75214,1.40155,0.772397,0.249646)

hk
9-9-2009