WisFaq!

Berekening van een vlak

Dag Wisfaq team,

Ik heb een viervlak ABCD en de vier punten zijn :
A=(1,1,1);B=(-1,-1,1);C= ((-1,1-,-1); D= (1,-1,-1)

De gevraagde lengten vond ik reeds en zijn alle gelijk het is 2Ö2.
Nu vraagt men om de vlakken te berekenen van ABC,ADC,ADB en BCD ?? Vorm ax+by+cz-d=0.
Wat hulp is welkom want ik weet niet meer hoe hieraan te beginnen...
1 vlak berekenen qis al heel vriendelijk. Dan zie ik de methode weer terug en kan ik de andere wel vinden
Groeten,
Rik

Rik Lemmens
23-8-2009

Antwoord

Beste Rik,

Je wilt dus vergelijkingen van de vlakken ABC e.d. opstellen?
Laten we eerst een vectorvoorstelling van vlak ABC bepalen, dan kan hieruit de normaalvector bepaald worden, waaruit de coëfficiënten van ax + by + cz = d eenvoudig gehaald kunnen worden. Want de coëfficiënten a, b en c komen overeen met de x-, y- en z-coördinaat van de normaalvector.

Zo'n vectorvoorstelling bestaat uit een plaatsvector en 2 richtingsvectoren.
Er is hier enige vrijheid in, je kunt voor plaatsvector bijvoorbeeld A, B of C kiezen. Laten we B kiezen, dus plaatsvector luidt (-1 -1 1)^T (hiermee geef ik aan dat de getallen eigenlijk onder elkaar geschreven moeten worden, i.p.v. achter elkaar).
De algemene vorm ziet er uit als volgt: (x y z)^T = (a b c)^T + l·(d e f)^T + m·(g h i)^T met l en m willekeurige reële getallen.
Waarbij (a b c)^T de plaatsvector is, en (d e f)^T en (g h i)^T richtingsvectoren.
Om nu de richtingsvectoren te bepalen moeten we twee vectoren kiezen die niet elkaars verlengden zijn. Dus bijvoorbeeld vector AB en vector BC.
Vector AB krijg je als je overeenkomstige (x-,y- en z-)coördinaten van vector a aftrekt van vector b. Dus richtingsvector AB is (-1 -1 1)^T - (1 1 1)^T = (-2 -2 0)^T.
Analoog vind je voor richtingsvector BC (-1 1 -1)^T - (-1 -1 1)^T = (0 2 -2)^T.

Dus de vectorvoorstelling van ABC luidt (x y z)^T = (-1 -1 1)^T + l·(-2 -2 0)^T + m·(0 2 -2)^T.
Dit kan nog vereenvoudigd worden, want je kunt factor 2 uit richtingsvectoren halen en dan worden de parameters twee keer zo groot, maar aangezien ze toch willekeurig waren, kun je net goed gewoon l en m blijven schrijven.

Samengevat: vlak ABC heeft als vectorvoorstelling (x y z)^T = (-1 -1 1)^T + l·(-1 -1 0)^T + m·(0 1 -1)^T.

De normaalvector moet loodrecht staan op beide richtingsvectoren, dus het inproduct moet 0 zijn. Het inproduct vind je door de overeenkomstige (x, y en z-)coördinaten met elkaar te vermenigvuldigen en alles bij elkaar op te tellen. Zo is het inproduct van (a b c)^T en (d e f)^T = ad + be + cf.
Stel dat de normaalvector (p q r)^T is. Dan moet gelden dat het inproduct van (-1 -1 0)^T en (p q r)^T gelijk aan 0 moet zijn en voor diezelfde normaalvector dat het inproduct van (0 1 -1)^T en (p q r)^T 0 moet zijn.
Dus -1·p -1·q + 0·r = 0 en 0·p + 1·q -1·r = 0 oftewel -p -q = 0 en q - r = 0.
Dit is een stelsel met 2 vergelijkingen en 3 onbekenden, dus je mag een onbekende variabel laten. Laten we alles in r schrijven.
Dan is q = r en p = -q = -r, dus (p q r)^T = (-r r r)^T = r·(-1 1 1)^T. Kies bijvoorbeeld r = 1, dan is normaalvector (-1 1 1)^T.

Ter controle inproduct berekenen (-1 -1 0)^T en (-1 1 1)^T = 1 - 1 + 0 = 0, oke. En inproduct van (0 1 -1)^T en (-1 1 1)^T is 0 + 1 -1 = 0, in orde.

Dus de vergelijking van het vlak luidt -x + y + z = d. Hoe berekenen we nu 'd'? Door een punt in te vullen in de vergelijking, bijvoorbeeld A(1 1 1)^T. -1 + 1 + 1 = 1, dus vergelijking van het vlak ABC luidt -x + y + z = 1.

Als alternatief had je ook het zogenaamde uitproduct van de beide richtingsvectoren kunnen berekenen, dit leverde je direct de normaalvector op (waarvan, zoals je weet, de coördinaten overeenkomen met de coëfficiënten van de vergelijking van het vlak).
Het uitproduct is het eenvoudigst met een determinant te berekenen. Meer informatie hierover kun je op deze pagina vinden bijvoorbeeld. Mocht je een uitwerking van die methode toegepast op jouw voorbeeld willen, reageer dan even.

En om het helemaal compleet te maken staan op deze pagina en Mathworld uiteraard nog meer methoden!

Hopelijk is het zo iets duidelijker geworden, anders reageer je maar.

Groetjes,

Davy.

Davy
23-8-2009