WisFaq!

Meetbare verzamelingen

Hallo wisfaq,

Zou u mij kunnen helpen met het oplossen van de volgende vraag?

Neem X:=; Zij A de $\sigma$-algebra {Æ,X}. De A-meetbare functies zijn precies de constante functies. Voor c $\bot$ [0,$\to\infty$] definiëren we een maat $\mu$ op A door: $\mu$(Æ)=0 (allicht) en $\mu$(X)=c.

Zij A_fin:={Y$\bot$A : $\mu$(Y)$<\to\infty$}; F is de ruimte der A_fin-trapfuncties; $\phi$ is de elementaire integraal op F, vastgelegd door: $\phi$(1_Y)=$\mu$(Y) (Y$\bot$A_fin);

M is de $\sigma$-algebra der $\phi$-meetbare verzamelingen.
Bepaal M voor c=0 en c=1.

Hoe ga ik nu te werk?

Mijn idee is dat M={Æ,X} voor c¹$\to\infty$. Want voor zulke c geldt: $\mu$(Æ)=0$<\to\infty$ en $\mu$(X)=c$<\to\infty$ $\Rightarrow$ Æ, X $\bot$ A_fin $\Rightarrow$ $\phi$(1_Æ)=$\mu$(Æ)=0$<\to\infty$ en $\phi$(1_X)=$\mu$(X)=c$<\to\infty$ $\Rightarrow$ Æ en X zijn $\phi$-meetbare verzamelingen. Ofwel Æ, X $\bot$ M.

M kan volgens mij niet groter zijn want, voor YÌX geldt YÏA en dus YÏA_fin ofwel YÏM.

Maar ik weet niet of ik het $\phi$-meetbaar zijn van een verzameling begrijp... want nu heb ik het idee dat de verzameling alleen maar $\phi$-meetbaar is als hij iig in A zit.... Maar dat klopt vast niet....

Can anyone help me please?

Groet

J
16-8-2009

Antwoord

De f-meetbare verzamelingen vormen een s-algebra en het zijn de verzamelingen waarvoor de karakteristieke functie integreerbaar is. Integreerbaar betekent hier dat onder- en bovenintegraal gelijk zijn. De bovenintegraal van f is het infumum van alle integralen van A-meetbare functies die boven f liggen en de onderintegraal is het supremum van alle integralen van de A-meetbare functies die onder f liggen. In dit speciale geval, als f de karakteristieke functie van een verzameling G is geldt dat de bovenintegraal gelijk is aan c als G niet-leeg is en 0 als G leeg is; de onderintegraal is c als G=X en 0 anders.
Als c=0 is dus elke verzameling meetbaar (0=0); als c niet nul is zijn alleen X en de lege verzameling meetbaar.

kphart
20-8-2009