Ik heb de volgende functie
f:S-
C, S is de eenheidscirkel, C zijn de complexe getallen. f(x)=sin(x) voor x in [-pi,0] en
f(x)=0 voor x in [0,pi].
Ik wil bepalen of f differentieerbaar is op het interval [-pi,pi], en ik wil ook bepalen of f' en f'' continu differentieerbaar zijn.
Hierbij moet ik denk ik gebruik maken van de definitie van de afgeleide van een functie, dus als
(*) f'(c)=lim(x-
c)[f(x)-f(c)/(x-c)] bestaat voor elke c in S dat is f differentieerbaar op S. De functie f is continu op I=[-pi,pi], want voor elke a in S geldt dat lim(x-
a)f(x)=f(a). De bovenstaande limiet (*) bestaat voor elke c in I, dus is f differentieerbaar op S.
De afgeleide f'(x)=cos(x) voor [-pi,0] en f'(x)=0 voor [0,pi].Maar f'(x) is niet continue want de limiet voor x-
0 van links is gelijk aan 1, maar limiet voor x-0 van rechts is gelijk aan 0.Dus f' is niet continue. De tweede afgeleide f''(x)=-sin(x) voor [-pi,0] en f''(x)=0 voor [0,pi].De limiet (*) bestaat voor elke c in S, dus f' is differentieerbaar.En f'' is continue op S, want voor elke a in S geldt dat lim(x-
a)f''(x)=f''(a). Ik heb moeite met het correct gebruiken van de definities van differentieerbaarheid en continuïteit.Is alle uitleg correct en volledig?
Groeten,
Viky
Viky
11-8-2009