WisFaq!

Integreren met breuksplitsen

Mijn uitkomst verschilt met die van het leerboek!
Int (x=-2 en -5)1/(1-x²)dx= Breuksplitsen als volgt:
1/(1+x)(1-x)= A/1+x) + B/(1-x) Door beide leden met de noemer (1+x)(1-x) te vermenigvuldigen, krijgen we:
1 = A(1-x) + B(1+x) De nulmakende faxtoren zijn:
x=+1 $\to$ 1= 2B $\to$ B= +1/2
x=-1 $\to$ 1= 2A $\to$ A= +¹/₂ Zodat:
1/(1+x)(1-x)= ¹/₂(1/1+x)+ ¹/₂(1/1-x)Nu naar de Integraal:Int(-2/-5){1/(1+x)(1-x)}dx=
1/2[ln|1-x²|] (x=-2 en -5)= 1/2{(ln-3)-(ln-24)}=
We passen nu de logaritmen regels toe!
¹/₂ln(-3/-24)= ¹/₂ln¹/₈ Antwoord volgens leerdictaat: -¹/₂ln(2) Heb geen idee wat ik fout gedaan heb. Wie weet mij te helpen? Bij voorbaat veel dank!

Johan uit de Bos
26-7-2009

Antwoord

Johan,
De ontbinding is correct, maar dan gaat het fout. Bovendien is lnx alleen gedefinieerd voor x$>$0, dus ln -3 is onzin.
De $\int{}$dx/(1+x)=ln|1+x| en $\int{}$dx/(1-x)= -ln|1-x|, zodat de
$\int{}$dx/(1-x²)= ¹/₂ln|(1+x)/(1-x)|. Verder moet het wel lukken.

kn
27-7-2009