WisFaq!

Commutativiteit, associativiteit, distributiviteit

Hallo

Ik heb onlangs mijn diploma ASO wetenschappen-wiskunde behaald en iedere les gebruiken we bewust of onbewust bovenstaande drie termen in oefeningen en bewijzen. Aangezien alles in de wiskunde te bewijzen valt (behalve de axioma's), is mijn vraag of jullie me een bewijs kunnen geven dat bovenstaande drie termen bewijst, dus dat:

Commutativiteit: a+b=b+a en a.b=b.a
Associativiteit: a+(b+c)=(a+b)+c en a.(b.c)=(a.b).c
Distributiviteit: a.(b+c)=ab+ac=(b+c).a

Alvast bedankt!
Mvg
Tim

Tim Van Den Bossche
5-7-2009

Antwoord

Beste Tim,

Dit is een hele goede vraag, maar het antwoord is niet zo eenvoudig als je misschien zou denken.

Zoals je zelf al opmerkt, hoeven axioma's niet bewezen te worden. Wel, de reële getallen zou je kunnen invoeren als een verzameling getallen die aan een aantal eigenschappen voldoet. Zo moet die verzameling waarop twee bewerkingen (de optelling en de vermenigvuldiging) gedefinieerd worden, een "veld" (of "lichaam" in Nederland) zijn en dit impliceert dat de twee bewerkingen onder andere voldoen aan deze drie fundamentele eigenschappen. Er zijn nog een aantal andere belangrijke eigenschappen nodig om van de reële getallen te kunnen spreken, maar de drie die jij noemt zitten dan dus al "ingebakken" in de (axiomatische) definitie.

Maar zo valt er natuurlijk niets te bewijzen en vraag je je misschien (terecht) af of we het dan helemaal niet kunnen bewijzen...?! Het kan wel, maar dan moet je ook 'dieper' graven in de wiskundige opbouw van de getallen en dat behoort zeker niet tot de ASO-stof.

De eenvoudigste manier bestaat er dan in om de genoemde eigenschappen te bewijzen voor de natuurlijke getallen. Die natuurlijke getallen kan je bijvoorbeeld eerst op een axiomatische manier invoeren (waarbij we de genoemde eigenschappen niet als axioma's aannemen natuurlijk) en de eigenschappen hieruit bewijzen. Die bewijzen zijn op zich niet erg moeilijk, maar nogal technisch omdat die axiomatische definitie niet erg 'handig' werkt.

Vervolgens kun je de andere getallen (gehele, rationale, reële) stapsgewijs "opbouwen" vanuit de natuurlijke getallen en je kan dan relatief eenvoudig tonen dat de eigenschappen blijven gelden.

mvg,
Tom

td
5-7-2009