WisFaq!

Reductieformule

Ik moet de reductieformule bepalen van: l met indexje n=
Int (e^x.x^-n)dx, n element van N. Ik gebruik p.i.
Int (x^-n) d(e^x)= en stel u=x^-n, v=e^x. Zodat:
e^x.x^-n - Int (e^x).d(x^-n)= e^x.x^-n + n.Int x^n-1/x²n.e^x.dx= Nu bekruipt mij het gevoel niet op de goede weg te zijn, omdat het antwoord volgens leerdictaat:
l met indexje 0 = e^x + D (Daar kan ik nog inkomen, omdat x⁰=1) en l met indexje n = {(n-1).e^x}/x^n-1 + (n-1)l met indexje (n-1). Dit laatste antwoord zie ik niet zitten. Wie kan mij helpen. Bij voorbaat heel hartelijk dank.

Johan uit de Bos
30-6-2009

Antwoord

Door de vele symbolen en vage termen als indexje, weet ik niet precies wat je wilt. Wellicht heb je hier iets aan.
De integraal van de functie f(x) = e^x / xⁿ gaat na partiële integratie over in e^x / [(1-n).x^n-1)) +
1/(n-1) maal de integraal van de functie e^x/x^n-1
Dit is ook wel wat ik in je eigen uitwerking meen te kunnen ontdekken.
In wezen is dit de gevraagde reductieformule: je begon met een n-de macht en na de integratie ben je afgedaald naar de (n-1)-de macht.
Door dit procédé te herhalen zul je ten slotte uitkomen op de integraal van de functie y = e^x/x en die laat zich niet in elementaire functies uitdrukken.

Wat ook kan: schrijf de functie y = e^x als machtreeks en deel dan door xⁿ.
Dus: e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...... + xⁿ/n! + ...
en dan door xⁿ delen, waarna je term voor term kunt integreren.
Dit mag omdat de machtreeks convergent is.

MBL
2-7-2009