WisFaq!

Inhoud bol als som van een aantal schijven

Nu en dan maak ik het mezelf onnodig moeilijk:

Ik weet dat de inhoud van een bol berekend wordt met (4/3)·pi·r³.

Tijdens het prutsen met integralen kwam ik op het onzalige idee die inhoud ook eens vast te stellen als som van een aantal op elkaar gestapelde schijven met toenemende straal. Stel een bol met straal 6, dan dacht ik de inhoud van de onderste helft van de bol te kunnen bepalen door de integraal te pakken van pi·r² waarbij r loopt van 0 naar 6. Dat geeft: 226.19. Gewoon met twee vermenigvuldigen om ook de bovenste helft erbij te tellen: 452.38.

Echter (4/3)·pi·6³ geeft: 904.78. Precies het dubbele!

Waar gaat mijn redenering mank?

Alvast dank, Martijn.

Martijn Claassen
23-6-2009

Antwoord

Hallo

Ergens klopt er iets niet in je redenering of berekening.
Als je de kromme √(36-x²) laat wentelen om de x-as tussen de grenzen 0 en 6 bekom je de halve bol, namelijk het rechtergedeelte (en niet de onderste helft).

De inhoudsintegraal is
$\pi$.$\int{}$(36-x²).dx = $\pi$.(36x - ^x3/₃)
Tussen de grenzen 0 en 6 wordt dit : $\pi$(216 - 72) = 144.$\pi$ = 452.39

Dit vermenigvuldigd met twee geeft inderdaad 904.78

LL
23-6-2009