WisFaq!

Re: Projectieve meetkunde

Bedankt voor uw antwoord, ik begrijp wat u zegt.

De vergelijkingen van de twee raaklijnen zitten vervat in één vergelijking , nl. het kwadraat van de partiële afgeleide verminderd met 4 maal het product van de kegelsnede zelf en de functiewaarde van een punt:

(partiële afgeleide)²-4f(x,y,z)*f(x₁,y₁,z₁)=0

Deze ene vergelijking is ontaard, logisch, want er zijn twee raaklijnen, maar ik zie niet hoe je dat uit deze algebraïsche vorm kan afleiden, dat is mijn probleem.

Dank bij voorbaat!

Brent
20-6-2009

Antwoord

U formuleert erg onzorgvuldig. Wat bedoelt u met "de partiële afgeleide", en hoe zou je een functiewaarde met een kegelsnede kunnen vermenigvuldigen?
En wat verstaat u onder een ontaarde vergelijking?
Tot slot: uw probleem is kennelijk niet het afleiden van de ontaardheid van de kegelsnede bestaande uit de twee raaklijnen, maar hoe men aan de vergelijking van de twee raaklijnen komt.

Afgaande op de vorm van de vergelijking lijkt het erop dat hier een discriminant van een vierkantsvergelijking gelijk aan 0 is gesteld.
Ik denk dat de inhomogene vergelijking van de kegelsnede luidt: f(x,y,1)=0.
Het is van belang dat deze vergelijking kwadratisch is.
Neem de inhomogene vergelijking van een willekeurige lijn door het eigenlijke punt (x₁,y₁,1), en snijd deze lijn met de kegelsnede: de snijpunten moeten zowel aan de vergelijking van de kegelsnede als aan die van de lijn voldoen.
Door de vergelijkingen te combineren krijgt men weer een vierkantsvergelijking.
De lijn is raaklijn precies dan als de discriminant 0 is, want dan vallen de twee snijpunten samen.
Omdat in uw vergelijking partiële afgeleiden voorkomen, zal de laatstgenoemde vierkantsvergelijking wel herleid zijn tot linkerlid=0, en het linkerlid geschreven zijn als de kwadratische Taylorveelterm waarmee het samenvalt.

hr
2-7-2009