WisFaq!

Vectoriele deelruimten en direkte sommen

Paniek!
Ik moet dit voor vrijdag oplossen maar vind maar geen beginpunt:
V is een eindige vectorruimte, met deelruimten W1 en W2 die dezelfde dimensie hebben. Bewijs dat er een deelruimte W van V bestaat zo dat V=direkte som van W en W! enerzijds en V=direkte som van W en W2 anderzijds.
Het ziet er niet zo moeilijk uit, maar ik kom in de knoei met mogelijke overlappingen. Graag een aanwijzing, zaterdag heb ik examen!
Rita De Witte

Rita De Witte
16-6-2009

Antwoord

Hallo, Rita. Geen paniek!
U zegt "eindige vectorruimte", maar bedoelt kennelijk "eindigdimensionale vectorruimte".
U kunt het als volgt aanpakken:
Begin met een basis e₁, e₂, .. , e_u van de doorsnede van W1 en W2 (eventueel u=0, dan is deze basis leeg); vul aan met e_u+1, e_u+2, .. , e_u+v tot een basis van W1 en met e_u+v+1, e_u+v+2, .. , e_u+2v tot een basis van W2 (eventueel v=0); vul aan met e_u+2v+1, e_u+2v+2, .. , e_u+2v+w tot een basis van V (eventueel w=0); dan is e_u+1+e_u+v+1, e_u+2+e_u+v+2, .. , e_u+v+e_u+2v, e_u+2v+1, e_u+2v+2, .. , e_u+2v+w een basis voor de gevraagde W.

hr
18-6-2009