WisFaq!

Hessian Matrix

Hey,

ik moet de aard van de stationaire punten berekenen van :
F(x,y,z)= -x³+4y²+z²+27x+2yz-12y

particieel afgeleiden:
naar x: -3x²+27
naar y: 8y+2z-12
naar z: 2z+2y

De stationaire punten zijn dan: punt A(-3,2,-2) en punt B(3,2,-2)

Om te bepalen of de punten een min/max/zadelpunt zijn heb ik de volgende hessian matrix:

[-6x, 0, 0
0, 8, 2
0, 2, 2]

Maar hier loop ik vast.
In punt A is D1=18; D2=144 en D3=216
In punt B is D1=-18; D2=-144 en D3=-216
Maar hoe wordt dit berekend? Als ik gewoon de D probeer uit te rekenen kom ik er niet? En met ontwikkelen naar rij/kolom ook niet?

Hopelijk kunnen jullie helpen, Alvast bedankt!

Sascha
13-6-2009

Antwoord

Beste Sascha,

Die D1, D2 en D3 zijn de "hoofdminoren" van je Hessiaan.
De eerste hoofdminor is de determinant van de matrix die je krijgt als je alle rijen en kolommen behalve de eerste schrapt: je houdt dan enkel -6x over, de 1x1-matrix linksboven dus.
De tweede hoofdminor is dan de determinant van de matrix die je krijgt als je alle rijen en kolommen behalve de eerste twee schrapt: je houdt dan de 2x2-matrix linksboven over.
Als je niets schrapt, heb je de determinant van de volledige Hessiaan.

Als al deze hoofdminoren positief zijn (in een stationair punt), dan heb je een (lokaal) minimum (punt A), als ze allemaal negatief zijn heb je een (lokaal) maximum (punt B). Moest je een geval tegenkomen waar je zowel positieve als negatieve D's hebt, dan heb je geen extremum (maar een soort zadelpunt).

mvg,
Tom

td
15-6-2009