WisFaq!

Formule van Euler toepassen

Ik weet dat een formule van Euler is: e^i$\theta$ = cos$\theta$+isin$\theta$.
dan kan ik uitrekenen dat e^$\pi$i=cos$\pi$+osin$\pi$=-1
en e^-$\pi$i=cos-$\pi$+isin-$\pi$=-1.
Bij die laatste kan ik toch ook zeggen e^-$\pi$i = 1/e^$\pi$i? Het klopt in elk geval wel want dat is dan 1/-1 en dat is -1

Mar waarom werkt het niet bij e^(²/₃$\pi$i?

e^(²/₃$\pi$i = cos 2/3$\pi$ + i sin 2/3$\pi$ = -1/2+1/2√3 i
maar e^(²/₃$\pi$i = (e^$\pi$i)²/3 = ³√(-1)²=³√1=1

Ik maak vast ergens een denk/rekenfout, maar ik kan maar niet vinden wat ik fout doe
Zou u willen helpen?

Elise
11-6-2009

Antwoord

Het gaat fout wanneer je zegt dat x^¹/₃= ³√x. Bij de reele getallen kan je dat vaak ongestraft doen, maar complex niet meer! De vergelijking x³=1 heeft in het complexe vlak namelijk drie oplossingen, waarvan er slechts een reeel is, en dat is net degene die je kiest met die derdemachtswortel. Wanneer je dus 1^¹/₃ doet, dan heb je ook drie mogelijke antwoorden, en uit wat je eerder deed, blijkt, welke van de drie juist is.

In je eerst voorbeeld gaat dit 'toevallig' goed, omdat bijvoorbeeld x=1 maar 1 oplossing heeft, ook in het complexe vlak.

Mocht het je nog niet duidelijk zijn, stel gerust een vervolgvraag. Succes!

Bernhard
11-6-2009