WisFaq!

Gebruik van ongelijkheid van Jensen

Geachte,

Bij de vraag die ik heb wordt de ongelijkheid van jensen toegepast om te bepalen of een schatter voor een parameter van een verdeling zuiver is. (betreft de alpha voor de paretto verdeling)
10
De schatter luidt: T= ----------------
ln(X1)+...+ ln(X10)

omdat deze functie strict convex is, kan Jensen worden toegepast. E[g(X)]$\geq$g(E$\overline x$)

na een aantal stappen staat er in de uitwerking voor de rechter term g(e$\overline x$) het volgende

10
E[g(X)] $>$ -----------------------
E[ln(X1)]+....+E[ln(X10)

is het niet zo er onder de deelstreep het volgende moet staan: ln(E[X1])+.....+ln(E[X10])

immers geldt ook voor g(x)=√X:
√E$\overline x$ $\geq$ E[√X]
je zet E$\overline x$ op de plek van de variabele toch?
of ligt dit helemaal anders?

Onno
4-6-2009

Antwoord

In wat je schrijft lijkt het mij de 10/(...) operatie te zijn die wordt "gejensend", niet de ln-operatie.

Met Y = ln(X1)+...+ln(X10) zegt Jensen dat

E[T] = E[10/Y] = 10/E[Y]

waarbij E[Y] dan natuurlijk weer te schrijven is als E[ln(X1)]+...+E[ln(X10)]

cl
7-6-2009