WisFaq!

Wet van grote aantallen, toepassing

Hallo,

Ik zit met een vraag die van doen heeft met de wet van grote aantallen: de vraag luidt als volgt.

Gegegeven is een rij onafhankelijke stochasten X1, X2.... met een exponentiele verdeling met parameter lambda = 3. Voor elke n=1,2,.... berekend men

^{X12+X22+....+Xn2}/_n

En dan is de vraag: Volgens de wet van grote aantallen, zal dit voor een n groot ongeveer gelijk zijn aan: ? (antw: 2/9 )

ik snap hoe het antwoord ontstaat, maar deze tussenstap niet.

^{X12+X22+....+Xn2}/_n E[X1²]

Hoe bewijs je bovenstaande uitdrukking met de regels van wet van grote aantallen, verwachting, en het gemiddelde (X overstreept)

Onno
4-6-2009

Antwoord

Onno,
Zij U(n)=(X1²+X2²+...+Xn²)/n .Verder zijn Xi²,i=1,2,...onafhankelijk met alle dezelfde kansverdeling waarvan het eerste moment bestaat.Dan zegt de zwakke wet van de grote aantallen dat de rij U(n) in waarschijnlijkheid naar de constante E(X1²) convergeert.Wat betekent dit:Kies een vast positief getal
e.Voor grote n worden nu afwijkingen die tenminste de grootte ehebben, zeer onwaarschijnlijk.Preciezer: de kans dat de afwijking
|U(n)-E(X1)| een waarde aanneemt ,die tenminste e is,nadert naar nul voor n naar oneindig.Dit geldt voor iedere e0, hoe klein ook gekozen.
De bewering dat U(n)E(X1) is dus niet correct,want dat is convergentie van een getallenrij.

kn
5-6-2009