WisFaq!

Limietberekeningdifferentieren

L (eindig getal)=lim (w--0)ln{(e^w -1)/w}^(1/w).
Berekening: lim (w--0) (1/w).{ln{e^w -1)-ln(w)}.w/w=(0/0)=
lim (w--0 {w.ln(e^w -1)-w.ln(w) }/w²= Nu differentieren
lim (w--0)[{ln(e^w -1)+ we^w/(e^w -1)} -{ln(w)+w/w}]/w²=
en nu zit ik fout, omdat er geen reeel getal uit komt en ook kan er niet meer gedifferentieerd worden, o.a. wegens het niet vinden van o/o of oneindig/oneindig. Wie ziet wat er mis gegaan is? Bij voorbaat hartelijk dank.

Johan uit de Bos
1-6-2009

Antwoord

Johan,
Jouw aanpak leidt niet tot de oplossing.Ken je de volgende standaardlimiet:Als f(x)=ln(1+x) en g(x)=x ,dan is lim f(x)/g(x)=1 voor x naar 0.Nu is e^w=1+w/1!+w²/2!+w³/3!+...,zodat (e^w -1)/w=1+a(w) met a(w)=
w/2!+w²/3!+w³/4!+..en a(w) gaat naar 0 voor w naar 0.Voor de limiet kun je nu schrijven (ln(1+a(w))/a(w)·a(w)/w en a(w)/w gaat naar 1 voor w naar 0.
Dus de limiet is gelijk aan 1.

kn
2-6-2009