WisFaq!

Dekpunten

Hallo,

Op Dekpunten kwam ik het volgende tegen:

Voor continu differentieerbare functies geldt als criterium voor stabiliteit van de iteratie (dus aantrekkende dekpunten) dat

|f'(a)| 1

waarbij het accent duidt op de afgeleide. Voor onze f(x)=x² geldt dus dat het dekpunt 0 stabiel/aantrekkend is, want |f'(0)| = 0 1, het dekpunt 1 is instabiel/afstotend, want |f'(1)| = 2 1.

Nu is mijn vraag.
Is dit te bewijzen??
Ik dacht dat dit misschien iets te maken had met de contractiestelling.
Klopt dit??
Alvast bedankt

Yonne
27-5-2009

Antwoord

Natuurlijk is dit te bewijzen en wel met behulp van de middelwaardestelling; die zegt dat f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) voor een c tussen a en b.
Als f(a)=a en |f'(a)|1 dan zijn er een interval I om a en een r in [0,1) met |f'(c)|=r voor c in I. Dan geldt |f(x)-a|=r|x-a| voor alle x in I. Hieruit volgt dat a een aantrekkend dekpunt is. Iets dergelijks kun je doen om te laten zien dat a een afstotend dekpunt is als |f'(a)|1.

kphart
29-5-2009