WisFaq!

Congruentie

Beste wisfaq, ik zit met het volgende probleem. Ik moet het aantal oplossingen bepalen voor de congruentie

x² ≡ −5 mod 52

Ik kan dit probleem oplossen door alle mogelijke x=0,1,2,,,,51 te substitueren. Echter vroeg ik me af or er een simpeler antwoord (en eleganter) is. Bij voorbaat dank,

Herman

Herman de Vries
21-5-2009

Antwoord

Meestal niet, maar je kunt je veel werk besparen door alleen naar x-en onder de 26 te kijken, immers 52-x=-x (mod 52) dus (52-x)²=x² (mod 52). Verder kun je naar de priemdelers van 52 kijken, 2 en 13: als x²=-5 (mod 52) dan geldt dat ook (mod 2) en (mod 13). Wegens (mod 2) moet x oneven zijn, dus in eerste instantie probeer je 1, 3, 5, 7, 9 en 11; bij elke gevonden x moet je ook even x+13, x+26 en x+39 controleren.

kphart
22-5-2009