WisFaq!

Gezocht: functie van gehele getallen

Beste brains,
Ik dank u al hartelijk voor alle voorgaande hulp bij mijn postgraduaat wiskunde-vragen voor de open univ in Griekenland.
Men vraagt "of er een functie bestaat f: Z--Z , f(f(n)) = -n" met Z de gehele getallen verzameling.
Ik meen van niet.
Ik zeg:
(f na f) moet lineair zijn, want met k een geheel getal heb ik
k. f²(n) = k.(-n) = -( k.n) = f²(k.n) dus de scalair mag voorop
en
f²(n + m)= -(n + m) = -n -m = f²(n) + f²(m) dus f² zet som om in som.
Als de basisvector voor Z de vektor e = (1) is, is de matrixvoorstelling van f² gewoon A=[-1]
Maar er bestaat geen matrix B in Z waarvoor B² =[ -1].
In C natuurlijk wel, daar zou f: C -- C , c -- i.c de juiste functie zijn.
Nu hoorde ik sommige collega's zeggen dat ze wel een functie f gevonden hadden, en ik wou eigenlijk alleen uw mening over de correctheid van mijn redenering.
Met achting

Rita De Witte
17-5-2009

Antwoord

De fout is dat je uit de `lineariteit' van f² de lineariteit van f concludeert.
Je kunt een voorbeeld maken door f(0)=0, f(1)=-2, f(-1)=2, f(2)=1, f(-2)=-1, f(3)=-4, f(-3)=4, f(4)=3, f(-4)=-3, ...

kphart
19-5-2009