WisFaq!

Herleiden van vermogens formule

Mijn vraag gaat over de algemene vermogens formule in een driefasesysteem. In het boek staat de afleiding hiervan.

p(t)=u1(t)·i1(t)+u2(t)·i2(t)+u3(t)·i3(t)

p(t)=u·i(cos$\phi$-cos(2$\omega$·t+$\phi$))+u·i(cos$\phi$-cos(2$\omega$·t+$\phi$-240°))+u·i(cos$\phi$-cos(2$\omega$·t+$\phi$-480°))

p(t)=3·U(t)·I(t)·cos$\phi$

De vraag van mij is wat begeurt tussen de laatste stap en die daarvoor?

Alvast bedankt voor uw reactie!

wma
14-5-2009

Antwoord

Om te beginnen ontstaat in de tweede regel bij alle termen u·i·cos$\phi$. Als je die om te beginnen apart neemt en vooraan zet, krijg je:
p(t)=3·u·i·cos$\phi$-u·i·(cos(2$\omega$t+$\phi$)+cos(2$\omega$t+$\phi$+240)+cos(2$\omega$t+$\phi$+480)).

Nu de volgende gonioformule toepassen:
cos($\alpha$+$\beta$)=cos$\alpha$cos$\beta$-sin$\alpha$sin$\beta$. Voor $\alpha$ neem je 2$\omega$t+$\phi$ en voor $\beta$ neem je resp 240° en 480°. Je krijgt dan:
p(t)=3·u·i·cos$\phi$-u·i·(cos(2$\omega$t+$\phi$)+cos(2$\omega$t+$\phi$)cos(240°)-sin(2$\omega$t+$\phi$)sin(240°)+cos(2$\omega$t+$\phi$)cos(480°)-sin(2$\omega$t+$\phi$)sin(480°))

Nu kun je de waarden van cos(240°) etc. invullen. Dat levert op:
p(t)=3·u·i·cos$\phi$-u·i·(cos(2$\omega$t+$\phi$)-0,5cos(2$\omega$t+$\phi$)-¹/₂√3sin(2$\omega$t+$\phi$)-0,5cos(2$\omega$t+$\phi$)+¹/₂√3sin(2$\omega$t+$\phi$))
Wanneer je nu binnen de haken alles optelt/aftrekt komt daar precies 0 uit. Dus:
p(t)=3·u·i·cos$\phi$

ek
26-5-2009