WisFaq!

Re: Het produkt van de afstanden van de brandpunten van een ellips

hallo, bedankt voor het antwoord, het heeft me het inzicht gegeven dat een ellips kan vergeleken worden met een cirkel om zo tot bepaalde vergelijkingen te komen. Echter snap ik de vergelijking van Hesse niet en vanwaar het komt. Mijn kennis van goniometrische formules strekt maar tot de som en verschilformules. Men vraag is dan ook: hoe word de formule van hesse opgesteld en op basis van welke algebraische vergelijking? Ik heb meerdere wiskundeboeken, maar dit staat er niet in. Ik zie wel dat het de formule van de raaklijn is, ingevuld met de brandpunten plus de min 1, als dit klopt? Dit dan gedeeld door een formule die ik helemaal niet snap, de ((cos(t)/a)²+(sin(t)/b²), en dan nog die √, wat betekend dat precies.

gerrie cuvelier
2-5-2009

Antwoord

Hallo, Gerrie.

Hesse berekent de afstand van punt P(a,b) tot lijn l: uX+vY=w, als volgt:
De loodlijn m door P op l is -vX+uY=c met c=-va+ub.
Vermenigvuldig de vergelijking voor l met v, en de vergelijking voor m met u, en tel de vergelijkingen dan bij elkaar op, dan komt er:
(u²+v²)Y = uc+vw = -vau+u²b+vw.
Vermenigvuldig de vergelijking voor l met u, en de vergelijking voor m met v, en trek de vergelijkingen dan van elkaar af, dan komt er:
(u²+v²)X = uw-vc = -vbu+v²a+uw.
Dus het snijpunt van l en m is S((-vbu+v²a+uw)/(u²+v²),(-vau+u²b+vw)/(u²+v²)).
De afstand van P tot l is nu de afstand van P tot S.
Nu is P((au²+av²)/(u²+v²),(bu²+bv²)/(u²+v²)), dus de afstand is
√((au²+vbu-uw)²+(bv²+vau-vw)²))/(u²+v²) = |au+bv-w|/√(u²+v²).
Dit is de vergelijking van Hesse.

hr
3-5-2009