WisFaq!

Re: Piramidegetallen in de driehoek van Pascal

Beste Lieke.

Heel erg bedankt voor de snelle reactie, maar ik snap het niet allemaal.
Wat zijn een somrij, een verschilrij en een kwadraatrij?
Het eerste gedeelte, tot aan 0,5(1²+ ... +n²)+0,5(1+ ... +n), snap ik verder wel.
Maar wat moet ik daarmee doen? En hoe komt u aan de formule 1/6·n(n+1)(2n+1)?
Ik heb op internet gezocht naar Rule-off reeksen, maar ik heb niets kunnen vinden en ik weet niet wat die reeksen zijn. De formule bewijzen lukt me dus helemaal niet.
Daarna telt u twee formules bij elkaar op, maar welke twee formules zijn dat?
En hoe komt u dan aan de formule 1/6n(n+1)(n+2)?
Dat laatste stukje, over faculteiten, snap ik helemaal niet.
Ik heb wel de schuine lijn in de driehoek van Pascal gevonden.

Ik hoop dat u het niet erg vindt dat ik zoveel vragen heb.

Met vriendelijke groeten, Lysanne.

Lysanne
2-5-2009

Antwoord

Dag Lysanne,
Natuurlijk is het niet erg dat je veel vragen stelt, juist goed, zolang je laat blijken zelf aan de slag te zijn geweest en dat doe je.
Een heleboel over dit onderwerp kan je ook vinden bij o.a. Formules voor piramidegetallen in de driehoek van Pascal en bij de verwijzingen die daar staan.

Een somrij (of reeks) is de rij die je krijgt door de getallen van een andere rij op te tellen. Bijvoorbeeld de rij 1,2,3,4,... geeft 1,3,6,10,...
Een verschilrij geeft de toename van de oorspronkelijke rij .
Een kwadraat rij is de rij van opvolgende kwadraten, dus 1,4,9,16,...
De somrij daarvan , 1,5,14,30 is de rij die je ook direct kan berekenen met
1/6·n(n+1)(2n+1).
Wat ik bedoelde met Rule-Off reeksen was onderstaande link:
http://home.wanadoo.nl/rule-off/wis/reeksen.htm
Als je echter het onderwerp rijen en reeksen op school nog niet hebt behandeld is dit wat moeilijk, maar daar staat o.a. bedoelde formule.

Laten we die formule even aannemen zonder bewijs:
(Het bewijs wordt meestal gedaan met behulp van de methode "volledige inductie", maar dat is een onderwerp op zichzelf.)
Terug tot waar jij bleef steken:
0,5(1²+ ... +n²)+0,5(1+ ... +n)
Dat kan je met die somformules schrijven als:
0,5·1/6·n(n+1)(2n+1) + 0,5·(0,5n·(n+1))
Dat bedoelde ik met het optellen van die formules.
Nu zou je dat zelf moeten kunnen vereenvoudigen tot 1/6n(n+1)(n+2)

Als je bovengenoemde wisfaq vraag Formules voor piramidegetallen in de driehoek van Pascal bekijkt zie je dat de verklaring waarom je die piramide getallen in de driehoek van Pascal terug kan vinden. Het is het gevolg van het feit dat er in die driehoek steeds twee getallen worden opgeteld.
Helemaal aan de buitenkant zie je van boven naar beneden allemaal enen.
Daarnaast de rij natuurlijke getallen, 1,1+1=2,1+ 1+1=1+2=3,4=1+3=1+1+1+1,.., ofwel 1,2,3,4,...
Daarnaast krijg je de driehoeksgetallen, 1,(1+2), (1+2+3),..., ofwel 1,3,6,..
En daarnaast weer de piramide getallen, dat is n.l. de somrij van de driehoeks getallen.

Om tenslotte die formule 1/6n(n+1)(n+2) te begrijpen moet je wel weten wat binomiaal coefficienten zijn. Die leer je bij het vak statistiek: 5 boven 2=5 nCr 2=10. Dat is het aantal maieren waarop je 2 dingen kan trekken uit 5 verschillende dingen.
Dat kan je zelf berekenen met: 5·4·3/(3·2·1), of met: 5!/(3!·2!)
En die binomiaal getallen zijn juist de getallen in de driehoek van Pascal:
De 5e rij: 1,5,10,10,5,1 is :
5 boven 0, 5 boven 1, 5 boven 2, 5 boven 3, 5 boven 4 en 5 boven 5.
Kan je nu daarmee het laatste stukje van mijn uitleg beter begrijpen?
Laat maar horen als je weer vast loopt.
Groeten en succes, Lieke.

ldr
3-5-2009