WisFaq!

Bewijzen van de ene functie voldoet aan de andere

Ik moet bewijzen/laten zien dat

z = e^{sin(x) · cos(y)}

gelijk is aan:

(cos(y)/cos(x))·(¶z/¶x) - (sin(y)/sin(x))·(¶z/¶y) = z

Ik dacht om de ketting regel te gebruiken:

(¶z/¶t) = (¶z/¶x)(¶x/¶t) + (¶z/¶y)(¶y/¶t)

Maar ik kom er niet op uit, waar de cos, sin en min-teken vandaan komt snap ik. Maar niet hoe het komt dat
(cos(y)/cos(x)) en (sin(y)/sin(x)) ik dacht dat het (cos(y)·cos(x)) en (sin(y)·sin(x)) moet zijn toch?

Etienne
23-4-2009

Antwoord

^¶z/_¶x = e^{sin(x).cos(y)}.cos(y).cos(x)
Je dient hier cos(y) als constante te behandelen en het laatste stukje van de partiële afgeleide is dan de afgeleide (naar x) van de oorspronkelijke exponent.
Als je het lastig vindt, vraag je dan maar eens af wat de afgeleide is van
bijvoorbeeld e^6.sin(x).
Wanneer je nu deze uitdrukking voor ^¶z/_¶x vermenigvuldigt met
cos(y)/cos(x), dan hou je cos²(y).z over.

Met ^¶z/_¶y = e^{sin(x).cos(y)}.-sin(y).sin(x) handel je op gelijke wijze. Het minteken is overigens veroorzaakt door de afgeleide (naar y) van cos(y). Hier wordt sin(x) als constante gezien.
Na vermenigvuldiging met sin(y)/sin(x) en aftrekking van de beide deelresultaten krijg je op grond van de stelling sin(y) + cos²(y) = 1 het gewenste resultaat z te zien.

MBL
24-4-2009