WisFaq!

Hoe vind ik een passende substitutie in een integraal met wortelfunctie?

Hallo,

Voor het vak calculus moet ik de volgende integraal oplossen:
int (Ö1 + x²)/x⁴
Volgende de uitwerking die niet volledig is omschreven moet ik gebruik maken van een substitutie, te beginnen bij x=tan(x)
Hiermee komen ze tot het omschrijven van de functie naar:
int (Ö1/cos²x)/tan²x .
Op het bovenste gedeelte kom ik wel.
Maar de vermindering in tan⁴x naar tan²x snap ik niet.
Ook zie ik de uiteindelijke uitwerking niet.
Zou iemand mij hiermee kunnen helpen?
Alvast bedankt.

M.v.g. Mark

Mark
22-4-2009

Antwoord

Beste Mark,

Je moet opletten met het gebruik van haakjes om duidelijk aan te geven wat er onder de wortel staat. Als ik je goed begrijp, gaat het om:

ò (Ö(1+x²))/x⁴ dx

Het is ook niet zo handig om bij een substitutie twee keer dezelfde variabele te gebruiken, dat wordt verwarrend. Stellen we x = tan(t), dan wordt 1+x² = 1+tan²x = 1/cos²x en dx = dt/cos²t.

ò (Ö(1/cos²t)/tan⁴t 1/cos²t dt

Dit kan je nog verder vereenvoudigen, maar die stap uit de uitwerking die je geeft lijkt me niet te kloppen.

mvg,
Tom

td
22-4-2009