WisFaq!

Differentiequotienten en formules

hoe bereken je een differentieqoutiënt uit een formule?
hoe bereken je dan uit een formule bijv: Y (=Yb - Ya)
hoe bereken je dan uit een formule Y (=Xb - Xa)
ik snap er niks van...

irene majoor
11-12-2002

Antwoord

Ik zal het uitleggen aan de hand van een voorbeeld.
Stel je hebt de formule
y=-2x+3

...een leuke formule, en niet te ruig lijkt me.
(teken deze functie eerst voordat je verder gaat)

Dit is een rechte lijn.

Nu kies je twee punten uit, A en B, die op de grafiek liggen.
Met Xa wordt x-coordinaat van A bedoeld, enz..
bijvoorbeeld A(0,3) en B(2,-1). Deze liggen allebei op de lijn.
Dus: Xa=0, Ya=3, Xb=2, Yb=-1

Wat stelt $\Delta$X voor? $\Delta$X is het aantal stapjes in de x-richting om van A naar B te komen.
$\Delta$ betekent zoveel als 'verandering van'.
Wat stelt $\Delta$Y voor? $\Delta$Y is het aantal stapjes in de y-richting om van A naar B te komen.
Nu kunnen we $\Delta$X uitrekenen. $\Delta$X=Xb-Xa=2-0=2
en $\Delta$Y=Yb-Ya=-1-3=-4

het differentie-quotient is $\Delta$Y/$\Delta$X = -4/2 = -2
(quotient betekent breuk)
En stelt de steilheid van de lijn voor.

Nu hebben we 2 willekeurige punten A en B geprikt. Zou het uitmaken als we bijv. B eens heel ergens anders neerleggen?
Eens kijken:
stel A(0,3) en B(100,-197)
$\Delta$X=Xb-Xa=100-0=100 en $\Delta$Y=Yb-Ya=-197-3=-200

Nu hebben we heel andere waarden voor $\Delta$X en $\Delta$Y.
Wat is het diff.quotient? $\Delta$Y/$\Delta$X=-200/100=-2
DUSSS... bij een rechte lijn maakt het niet uit waar je je twee punten A en B kiest, het differentiequotient blijft toch hetzelfde!

Nou een iets ingewikkelder functie:
y=x²-2x+3
teken deze eerst.

we kiezen weer twee punten op de grafiek, bijv. A(0,3) en B(1,2)
$\Delta$X=Xb-Xa=1-0=1
$\Delta$Y=Yb-Ya=2-3=-1
differentiequotient=$\Delta$Y/$\Delta$X=-1/1=-1

Zou het nog steeds niks uitmaken hoe A en B gekozen zijn?
Stel A(0,3) en B(2,3)
$\Delta$X=Xb-Xa=2-0=2
$\Delta$Y=Yb-Ya=3-3=0
differentiequotient=$\Delta$Y/$\Delta$X=0/2=0

Hee, nu maakt het wel wat uit waar de twee punten A en B liggen. (alleen bij rechte lijnen maakt het niet uit).
Dat is ook wel te begrijpen, want een rechte lijn loopt overal even-stijl,... terwijl bij een kromme de steilheid van punt tot punt anders is.

Maar bij een opgave over het berekenen van differentie-quotienten zal altijd gegeven zijn om WELKE punten het gaat, waarvan het diff.quot. berekend moet worden.

groeten,
martijn

mg
11-12-2002