WisFaq!

Discrete wiskunde (groep permutaties)

Dag meneer, mevrouw,
Ik heb een vraag over de groep permutaties

De groep permutaties van {1,2,3,4,5} geven we aan met S₅.
a, Geef van orde 1 tot en met 6 een element uit die orde
b, H en G zijn subgroepen van S₅.
|H| =8 en |G| =15. Hoeveel elementen hebben G en H gemeenschappelijk?
Hartelijk dank voor de moeite,

Vraag a kan ik voor groepen van orde 1 tot en met 5 eigenlijk een cyclische groep van die orde maken, en daaruit een element eruit pikken, maar ik heb geen idee hoe ik een subgroep van orde 6 moet maken.
en van vraag b weet ik alleen dat de identity element in zowel H als G zit, maar verder weet ik ook niet hoe ik de vraag moet aanpakken

ha nguyen
5-4-2009

Antwoord

Er bestaat zoiets als een cykel-notatie voor permutaties: met (abc...z) bedoelen we dat a op de plaats van b komt, b op die van c, c op die van d, ... z op die van a. Dus in dit geval betekent bijvoorbeeld (123) de permutatie (3,1,2,4,5). Iets als (12)o(34) heeft nu dus bijvoorbeeld ook zin: dat is eerst de permutatie (34) toepassen en dan (12). Nu kan je bewijzen dat elke permutatie kan geschreven worden als de samenstelling van zo'n cykels, waarbij de getalletjes in die cykels disjunct zijn, en dat die samenstelling essentieel uniek is (op de volgorde van de cykels en de volgorde binnen de cykels na). Men kan dan bewijzen dat de orde van de permutatie het kleinste gemene veelvoud van de lengtes van de cykels in zijn disjuncte-cykelnotatie is. Zo is de orde van (1234) natuurlijk 4 en van (12)o(345) gelijk aan 6.

Voor vraag b kan ik je als hint geven dat de orde van een gemeenschappelijk element zowel de orde van H als van G moet delen

cd
7-4-2009