WisFaq!

Primitiveren irrationale functie

Int(Öx/1+x)dx= Stel u=Öx dan is u²=x en verder du=d(Öx),
du=(1/2Öx)dx -- dx=(2Öx)du. Beide leden met Öx vermenigvuldigen: (Öx)dx=(2x)du. Omdat u²=x noteer ik:
(Öx)dx=(2u²)du en ga terug naar de opgave om te substitueren:Int(2u²)/1+u²)du= 2 Int u² d(arctan u + C en nu kan ik niet verder. Het antwoord moet zijn: 2Öx - 2arctanÖx + C. Hieruit blijkt, dat ik heel dicht bij het goede antwoord zit, maar er ontbreekt nog iets? Wie helpt mij hier doorheen? Bij voorbaat heel hartelijk bedankt.

Johan uit de Bos
20-3-2009

Antwoord

Beste Johan,

Bij je substitutie wil je dx ook in functie van du, vertrekkend van u² = x vind je eenvoudig 2udu = dx. Met x = u² gaat de integraal dan over in:

ò u/(1+u²) 2u du = 2 ò u²/(1+u²) du

Dat had je uiteindelijk ook, maar toch iets omslachtiger gevonden. Trucje:

u²/(1+u²) = (1+u²-1)/(1+u²) = (1+u²)/(1+u²)-1/(1+u²) = 1-1/(1+u²)

Je kan hetzelfde vinden door de staartdeling op deze breuk uit te voeren.

mvg,
Tom

td
20-3-2009