WisFaq!

Covariantie en verwachtingswaarde

Dag heer,mevrouw,
Ik zat al heel lang met de volgende vraag, maar kom steeds niet uit.

een experiment kan resulteren in r mogelijke uitkomsten, de i-de uitkomst heeft de kans p_i
i= 1,2,..,r
de som van i=0 tot r van p_i=1
als n experimenten worden uitgevoerd en de uitkomsten van die experimenten beïnvloeden elkaar niet.
Laat N_i het aantal keren dat uitkomst i uitkomt.
Bereken Cov(N_i,N_j)
en bereken de verwachtingswaarde van het aantal uitkomsten die niet uitkomen?
Die zijn vraag c en d, bij a en b heb ik berekend E(N_i)=np_i en Var (N_i)=np_i(1-p_i)
Verder staat er een hint dat N₁+...+N_r =n dus Var(N₁+...+N_r)=0

Hartelijk dank,
Ha

Ha
16-3-2009

Antwoord

Ha,
Om aan te tonen dat cov(Ni,Nj)=-npipj zou ik gebruik maken van de cumulanten genererende functie.Om dit af te leiden met de gegeven hint is wellicht dit de bedoeling:var(N1+...+Nr)=som varianties+som covarianties.Nu is
varNi=npi(1-pi)=npiåpj,gesommmeerd over j¹i.Zo vinden we dat
var(N1+...+Nr)=å(npipj+cov(Ni,Nj))=0,sommeren over i en j met j¹i.
We zien nu dat cov(Ni,Nj)=-npipj voldoet.

kn
18-3-2009