WisFaq!

Polynoom decompositie

Beste Wisfaq,

Ik zit met de volgende vraag: hoe toon ik aan dat:

x⁵ − 1 = ( x − 1)( x² − 4x + 1)( x² + 5x + 1) in F₁₉[x].

als antwoord is gegeven: onreduceerbaarheid van graad 2 polynomen kan gecontroleerd worden door deze polynomen te evaluateren voor bepaalde elementen in F₁9.

Maar ik weet niet op welke elementen ik het dan moet evaluaeren.

Bij voorbaat dank,

Herman

Herman de vries
14-3-2009

Antwoord

De gelijkheid aantonen is geen kunst: gewoon het rechterlid uitvermenigvuldigen. Je echte vraag heb je echter niet expliciet opgeschreven: je wilt weten waarom dit de ontbinding van x⁵-1 in irreducibele factoren is. Ik zou in beide gevallen kwadraat afsplitsen: x²-4x+1=(x-2)²-3 en x²+5x+1=(x+12)²-10. Nu kun je redelijk snel nagaan dat 3 en 10 geen kwadraten zijn modulo 19.

kphart
17-3-2009