WisFaq!

Partiele integratie

Int e^ax cos(bx)dx=Int cos(bx)d(e^ax)= [Stel u=e^ax en v=cos(bx)] cos(bx).e^ax - Int e^ax.d((cos(bx))=
e^ax.cos(bx)-Int e^ax.-bsin(bx)dx= e^ax.cos(bx)+Int e^ax.bsin(bx)dx= e^ax.cos(bx)+Int bsin(bx).d(e^ax)= p.1.
e^ax cos(bx)+b{sin(bx).e^ax - Int e^ax.d(sin(bx))}=
e^ax.cos(bx)+b{sin(bx).e^ax- Int e^ax.b cos(bx)dx}=
e^ax.cos(bx)+b.sin(bx).e^ax-Int b²cos(bx)d(e^ax)= p.i.
e^ax.cos(bx)+bsin(bx).e^ax-{b²cos(bx).e^ax-Int e^ax.b².d(cos(bx)= Nu heb ik het gevoel niet naar het juiste antwoord te koersen! Dat luidt volgens mijn schooldictaat:
e^ax(b.sin(bx)+a.cos(bx)/ a²+b²
Bij voorbaat heel hartelijk dank voor de hulp!

Johan uit de Bos
13-3-2009

Antwoord

Uitgaande van het schema òu'v=uv-òuv', moet je een van de twee primitiveren en de ander differentieren.
Kiezen we bijvoorbeeld u'=e^ax en v=cos(bx), dan levert dit op
òe^axcos(bx)dx=¹/_ae^axcos(bx)-ò¹/_ae^ax*-bsin(bx)dx=
¹/_ae^axcos(bx)+^b/_aòe^axsin(bx)dx.

Op precies dezelfde manier vind je
òe^axsin(bx)=¹/_asin(bx)-^b/_aòe^axcos(bx).

Noemen we nu òe^axcos(bx) even I dan staat er dus in totaal:
I=e^ax(¹/_acos(bx)+^b/_a²sin(bx))-^b2/_a²I

Dit wordt dan:
(1+^b2/_a²)I=e^ax(¹/_acos(bx)+^b/_a²sin(bx))

Links en rechts vermenigvuldigen met a² levert dan:
(a²+b²)I=e^ax(acos(bx)+bsin(bx).
Dus I=e^ax(acos(bx)+bsin(bx))/(a²+b²)

hk
13-3-2009