WisFaq!

Limiet en integraal

Hoi Wisfaq,

Laat h gedefinieerd zijn op het interval (0,1/2] door
h(t)=(1/pi·t)-(1/sin(pi·t))

Ik heb aangetoond dat h continu is op [0,1/2] door aan te tonen dat lim h(t)=0 voor t-oneindig en door te definieren h(0)=0.

Ik wil graag aantonen dat h differentieerbaar is op (0,1/2) en dat h'(t) begrensd is.Want ik wil uiteindelijk aantonen dat

lim int[h(t)·sin(B·t)]dt, integraal van 0 tot c met 0c=1/2, en limiet voor B-oneindig.

1.De afgeleide h' is overal gedefinieerd op (0,1/2) en lim h'(t)=-4·pi, voor t-1/2, maar lim h'(t)=0neindig, voor t-0 (ik heb twee maal de regel van l'Hospital gebruikt).Dus h'(t) is differentieerbaar maar niet in de eindpunten.
vraag1.Is dit juist?Of moet de lim voor t-0 eindig zijn?

2.Ik wil aantonen dat |h'(t)|=M, voor alle t in (0,1/2)(of (0,1/2]?), en M0.(Sorry voor de vele haakjes!)
|[pi/((t²)·(sin(pi·t))²)]·[t²·cos(pi·t)-(sin(pi·t))²]|
=|pi/((t²)·(sin(pi·t))²)|·|t²·cos(pi·t)-(sin(pi·t))²|

vraag2.Ik begrijp niet hoe ik dit goed moet afschatten.

3.int[h(t)sin(Bt)]dt=[(-1/B)h(t)cos(Bt)]+(1/B)int[h'(t)sin(Bt)]dt. Nu ga ik deze integraal afschatten:

vraag3.Waarom kan je nu al niet de limiet nemen voor B- oneindig?Waarom moet alles eerst afgeschat worden?

|(-1/B)h(t)cos(Bt)| voor t van 0 naar c is gelijk aan
|(1/B)h(c)cos(Bc)|=(1/B)h¹/₂cos(B/2)
en
|int[h'(t)sin(Bt)]dt|=int[|h'(t)|·|sin(Bt)|]dt
=M·int[|sin(Bt)|]dt=M·(c-0)=M/2, want |sin(Bt)|=1 en c=1/2.

En nu B-oneindig?

Groeten,

Viky

Viky
12-3-2009

Antwoord

Viky,
Je wilt,denk ik,aantonen dat lim (b®¥)òg(t)sin(bt)/tdt=
¹/₂pg(0+), t van 0 naar c.Nu is g(t)=th(t)=1/p-t/sinpt.Je kunt nu laten zien dat
g(0+)bestaat en dat g '(0+) bestaat.Beide zijn namelijk gelijk aan 0.Je kunt nu aantonen dat de oneigenlijke integraal
ò(g(t)-g(0+))/tdt,met ondergrens 0+ en bovengrens c,absoluut convergent is.De stelling van Dini zegt nu dat hieruit de juistheid van de eerstgenoemde limiet volgt.

kn
12-3-2009