WisFaq!

Uniforme continuiteit

hallo,
ik wil een oefening maken over uniforme continuiteit,nl:
xtan²x in [0, $\pi$/2 ]
de regel is : |x-y|$<\epsilon$ dus dan bekom ik :
|xtan²x - ytan²y|$<$ $\epsilon$ ik weet niet of het y-gedeelte juist is ?
De definitie zegt: als men een interval op een y-gebied, is deze even groot voor het x-gebied, maar hoe kan je dat aantonen ?
En als ze bv: uniform zou zijn, dan zou ze misschien lipschitz zijn, dus dan is het interval op het y-gedeelte kleiner dan een veelvoud van het interval x-gedeelte, of niet ?

Dank bij voorbaat
Phil

phil
28-2-2009

Antwoord

Ik zou de definitie van uniforme continuïteit nog mar eens goed bestuderen want aan je vraag is bijna geen touw vast te knopen.
Ik vermoed dat je vraag gaat over het al dan niet uniform continu zijn van xtan²x op het interval [0,$\pi$/2). Dat is deze niet.
De definitie zegt immers dat bij elke positieve $\epsilon$ een positieve $\delta$ moet bestaan met de eigenschap dat voor elke x en y als |x-y|$<\delta$ dan |f(x)-f(y)|$<\epsilon$.
Nu heeft jouw functie een verticale asymptoot by $\pi$/2 en dat kun je als volgt gebruiken: we laten zien dat bij $\epsilon$=1 geen bijpasende $\delta$ bestaat.
Neem $\delta>$0 en zet x=$\pi$/2-$\delta$/2. Er bestaat dan een y tussen x en $\pi$/2 met f(y)$>$f(x)+1. Dan hebben we |x-y|$<\delta$ en |f(x)-f(y)$>\epsilon$.
Geen enkele $\delta>$0 is dus geschikt.

Zie Wikipedia: Uniform Continuity [http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_continuity]

kphart
2-3-2009