WisFaq!

Kettingregel bij primitiveren

Beste meneer, mevrouw,

Ik had een vraagje over het gebruik van de kettingregel bij het primitiveren.
Ik snap namelijk niet waarom de volgende regel geldt:
De primitieven van f(ax+b) zijn 1/aF(ax+b)+c.
En waarom zijn de primitieven van f(x)=(x+1)⁵ van de vorm F(x)=a(3x+1)⁶?

Alvast bedankt! Groetjes Lynn

Lynn
25-2-2009

Antwoord

Als je F(ax+b) differentieert, krijg je F'(ax+b).a = a.f(ax+b).
Een voorbeeld illustreert het waarschijnlijk het snelst.
Stel dat de functie f(x) = (5x-7)⁶ geïntegreerd moet worden, ofwel er wordt gevraagd naar de primitieven.
Logischerwijs gaat de eerste gedachte uit naar F(x) = ¹/₇.(5x-7)⁷. Differentiëren geeft echter als resultaat
f'(x) = 7.¹/₇.(5x-7)⁶. 5
Die laatste factor 5 heb je te danken aan de kettingregel. Het is de afgeleide van het stukje y = 5x-7
Om die 5 nu kwijt te raken, zetten we er nog een extra ¹/₅ voor, zodat we als primitieve krijgen ¹/₃₅(5x-7)⁷ + const.

In je laatste vraag zul je je wel verschrijven. De primitieve van
f(x) = (x+1)⁵ is gewoon F(x) = 1/6(x+1)⁶.
Het getal a zoals dat in je eerste vraag staat, is hier namelijk gewoon 1, dus daar heb je geen echte last meer van.

MBL

MBL
25-2-2009