WisFaq!

Collineairiteit

Men noemt P het zwaartepunt van het zijvlak [BCD] van een viervlak ABCD, M het midden van het lijnstuk [AP], N het midden van het lijnstuk [CD] en Q het punt van de rechte AB waarvoor geldt (ABQ) = -1/3. Bewijs dat de punten M, N en Q collineair zijn.

Kunnen jullie mij misschien helpen?

Cindy
9-12-2002

Antwoord

Hoi,

We bekijken driehoek Dbcd. Omdat n het midden is van [cd], moet p op [bn] liggen. Hieruit volgt dat n, m, p en q in het vlak abn liggen. Als we het vectorieel bekijken, kunnen we de oorsprong leggen in b en als eenheidsvectoren a en n nemen. We hebben dan a(1,0), b(0,0), n(0,1) en p(0,1/2), q(2/3,0) en m(1/2,1/4).

Het volstaat te bewijzen dat qm evenwijdig is met qn (omdat de lijnstukken een punt q gemeen hebben zullen de punten dan collineair zijn).
Welnu: qm=m-q:(-1/6,1/4) en qn=n-q:(-2/3,1)=4.qm

(We zien zelfs dat m het lijnstuk [nq] in verhouding 1/4 deelt)

Groetjes,
Johan

(PS: is de opgave niet dat (abq)=aq/ab=1/3 ?)

andros
12-12-2002