WisFaq!

Asymptoten

Dit onderwerp heb ik op school nooit uitgebreid behandeld gekregen, vandaar ...
Een voorbeeld opgave uit Module code PRXwis004 van A.Duinker (R'dam)
VB.12. Onderzoek en schets y(x)=ln{4x-1/2x+1}
Uitvoering: Bekend is dat ln{4x-1/2x+1}=ln(4x-1)-ln(2x+1),
bekend is ook dat: het argument van natuurlijke log. 0 moet zijn. In mijn leerdictaat wordt een definitiegebied gebruikt voor de schets: [-3,3]. Als ik nu voor y(x) waarden ga invullen in dit definitiegebied, krijg ik om te beginnen slechts waarden 0, maar y(x) strekt zich ook onder de x-as uit! Ook begrijp ik, dat er een vert. asymptoot ligt op x= -1/4 en x= 1/2. Maar wie helpt mij de schets construeren?! Bij voorbaat hartelijk dank!

Johan (Hans) uit de Bos
5-2-2009

Antwoord

Kijk uit met het vervangen van ln(^4x-1/_2x+1) door
ln(4x-1) - ln(2x+1).
In deze laatste vorm moeten namelijk twee zaken in orde zijn, namelijk
4x-1 0 EN 2x+1 0.
Uit het eerste volgt x ¹/₄ en uit het tweede volgt x -¹/₂, zodat in deze gesplitste schrijfwijze van de functie x ¹/₄ moet zijn.
In de originele vorm heb je echter als eis dat de breuk (4x-1)/(2x+1) 0 moet zijn en dát geldt wanneer x ¹/₄ OF x -¹/₂.
Je ziet hieraan dat de oorspronkelijke vorm van de functie een groter domein (definitiegebied) heeft dan in de gesplitste vorm. In feite ben je gewoon de helft van de grafiek kwijt door die splitsing.
Het feit dat je alleen maar positieve y-waarden te zien kreeg, zal wel liggen aan het feit dat je slechts een beperkt aantal gehele waarden hebt ingevuld. Als je x = 1 neemt, krijg je ln(1) = 0. Neem je nu een x-waarde tussen ¹/₄ en 1, dan krijg je écht negatieve waarden hoor! Zo geeft x = ¹/₂ bijvoorbeeld ln(0,5) -0,69
Ik neem aan dat je beschikt over een grafische machine en/of computer.
Zo niet, download dan eens een programma als Winplot of Geogebra die volledig gratis de meest fraaie grafieken op je scherm toveren.
Voer dan de functie eens in en laat je overtuigen van het feit dat de grafiek gewoon onder de x-as komt als ¹/₄ x 1.

MBL

MBL
5-2-2009