WisFaq!

cos(a-b)= cos(a).cos(b) +sin(a).sin(b)

cos(a-b)= cos(a).cos(b) +sin(a).sin(b)

Kun je mij misschien uitleggen hoe je dit, op een eenvoudige manier, bewijst. Misschien met de cosinusregel ofzo ?

Thomas

Thomas
7-12-2002

Antwoord

Het kan inderdaad met de cosinusregel, bijvoorbeeld in combinatie met de eenheidscirkel.
Teken eens een cirkel met straal 1 en neem (voor de eenvoud in het eerste kwadrant) een punt A (cosa, sina) en een punt B(cosß, sinß) op die cirkel. Neem a groter dan b, zodat A dichter bij de noordpool ligt dan B.
Pas nu in driehoek OAB de cosinusregel toe. Je krijgt:
AB² = 1² + 1² - 2.1.1.cos(a - b)

Aan de andere kant kun je de afstand van twee punten waarvan de coöordinaten zijn gegeven ook berekenen via de afstandsformule, een rechtstreekse Pythagorastoepassing.
Dan krijg ve voor de afstand van A tot B het volgende:

AB² = (cosa - cosb)² + (sina - sinb)².
Als je hierin de haakjes wegwerkt kom je een bekende goniometrische identiteit tegen en als je vervolgens de twee uitdrukkingen voor AB² aan elkaar gelijkstelt zie je de regel die je wilde bewijzen staan. Probeer het maar eens.

MBL
7-12-2002