WisFaq!

Re: Re: Goniometrische vergelijking

Ja heel graag wil ik nog wat meer horen over dit type
acos(x)+ bsin(x)=c Mijn studieboeken van de Hogere Zeevaartschool vermelden niets hierover. Bovendien was het zo, dat als de opleiding lesuren tekort kwam dit ten koste ging van wiskunde, bijv. bolgoniometrie. Een halve eeuw geleden kregen we daar veel meer over te horen!
Bij voorbaat hartelijk dank!
Hans

Johan (Hans) uit de Bos
13-1-2009

Antwoord

Aan de hand van een voorbeeld zal ik de gedachtengang schetsen.
We nemen de vergelijking 4 cos(x) + 3 sin(x) = 2
Deling door 4 geeft cos(x) + ³/₄.sin(x) = ¹/₂.
Er wordt nu een wat men vroeger een hulphoek j noemde ingevoerd. In het interval -¹/₂p,¹/₂p neemt de tangensfunctie elke waarde precies één keer aan, wat o.a. te zien is aan de grafiek van de functie
f(x) = tan(x).
Dat betekent dat er in het genoemde interval één getal j bestaat waarvoor tan(j) = ³/₄.
De vergelijking wordt nu geschreven als cos(x) + tan(j).sin(x) = ¹/₂ en via tan(j) = sin(j)/cos(j) levert vermenigvuldiging met cos(j) dan op cos(x).cos(j) + sin(x).sin(j) = ¹/₂.cos(j).

Het linkerlid van deze vergelijking is te schrijven als cos(x-j) en het rechterlid is als getalwaarde bekend, want j is bekend.
Als je exact wilt blijven rekenen, dan volgt uit tan(j) = ³/₄ dat cos(j) = 4/5 zodat we nu de vergelijking cos(x - j) = 2/5 hebben.
Met j = invtan(³/₄) = 0,64 is daarmee de oplossing binnen handbereik.

MBL
14-1-2009