WisFaq!

Theoretische oefening over analytische functiews

In de complexe analyse heb ik een oefening waar ik geen vat op krijg: De opgave luidt: "Toon aan dat een niet constante analytische functie geen "region" kan afbeelden op een rechte" . Met region wordt bedoeld een verzameling punten (x, y) waarvan elke willekeurige 2 verbonden kunnen worden door een gebroken lijn die tot de verzameling behoort. Ik kan u niet zeggen wat ik al gedaan heb, want ik begrijp eigenlijk de opgave niet goed. Is de negatie dat een constante analytische functie wel een region kan afbeelden op een rechte? En hoe ziet een constante analytische functie eruit? Als die f(z)=c is, kan die toch onmogelijk een rechte als beeld hebben? Elke hulp is welkom

Rita De Witte
12-1-2009

Antwoord

Je negatie is fout: er staat `elke niet-constante analytische functie heeft niet eigenschap A'; de negatie is dan `er is een niet-constante analytische functie die wel eigenschap A heeft'.
De oplossing zit hem in de Cauchy-Riemannvergelijkingen: stel dat het beeld f[D] binnen een lijn ligt; draai die lijn zo dat het beeld binnen de reële as ligt. Met behulp van de C-R-vergelijkingen kun je bewijzen dat f constant moet zijn.

kphart
13-1-2009