WisFaq!

Integreren met logaritmen

Hallo,

Op dit moment ben ik bezig met partieel integreren, maar ik kom er niet echt uit. Ik heb vooral een tweetal sommen als voorbeeld, waarvan ik een deel gewoon goed doe, maar dan vast loop.
Som 1:
De integraal van: ln(2x+1)dx
Mijn antwoord was: x ln(2x+1) - x. Dit was helaas niet het goede antwoord. Het goede antwoord was: ¹/₂(2x+1)ln(2x+1) -x. Ik snap alleen echt niet hoe ze die (2x+1) voor de logaritme hebben gekregen.
Som 2:
De integraal van: arctan(4t)dt
Ik was hierbij nog niet echt tot een antwoord gekomen. Ik liep vast op het feit dat ik na het partieel integreren weer een integraal kreeg (die van ((1/1+4t²) · t)
Ik zie wel in dat hier een ln uit moet komen, maar ik snap niet goed hoe ik met het kwadraatje om moet gaan.
Het goede antwoord is: t arctan(4t) (dit had ik) - (1/8)ln(1+16t²)
Dit laatste stuk had ik niet, en ik snap dus niet hoe ze aan (1/8) en aan 16 komen.

Alvast bedankt voor het beantwoorden!

Daniel

Daniel
8-1-2009

Antwoord

Daniel,
Stel in de eerste integraal 2x+1=t.Hieruit volgt dat dx=¹/₂dt,Zodat de integraal wordt ¹/₂òlntdt.Nu is òlntdt=tlnt-òtdlnt=
= tlnt-òdt=tlnt-t.
Stel in de tweede integraal 4t=x.Dit geeft ¹/₄òarctanxdx.Nu is
òarctanx dx=xarctanx-òx/(1+x²)dx.En de laatste integraal is
¹/₂ ln(1+x²).

kn
8-1-2009