WisFaq!

Raakvlak aan bol

Opdracht: bepaal een vergelijking van de bol B die door de punten A(1,1,0), B(3,1,-2) en C(-3,3,-4) gaat en waarvan het middelpunt in het vlak alpha - 3x-y-z+3=0 gelegen is. b) Zoek daarna de vergelijking van het raakvlak in het punt A aan de bol B.

Nu opgave b is geen probleem en op zich de wiskundige uitwerking van a ook niet, maar ik weet echter enkel niet zo goed welke stappen je juist moet nemen om voor aan de voorwaarden van a te voldoen. Als ik deze in woorden (eventueel met de juiste namen van de punten) zou kunnen krijgen, zou ik gemakkelijk deze vraag kunnen oplossen.

Alvast bedankt.

The Londonist
5-1-2009

Antwoord

Je bent op zoek naar de vergelijking voor een bepaalde bol. Het is daarom handig te beginnen met de algemene vergelijking voor een bol (die je als het goed is kent), namelijk:
(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r².
Dit is de vergelijking voor de bol met middelpunt (a,b,c) en straal r. Deze vier variabelen zijn allemaal nog onbekend.

Die 4 variabelen kun je nu uitrekenen, door gebruik te maken van hetgeen gegeven is. De vergelijking moet bijvoorbeeld kloppen voor elk van de drie punten, waarvan bekend is dat ze op de bol liggen. Bijvoorbeeld voor B moet gelden:
(3-a)²+(1-b)²+(-2-c)²=r².
Daarnaast weet je dat het middelpunt (a,b,c) in een bepaald vlak ligt, dus
3a-b-c+3=0.
Op deze manier krijg je vier vergelijkingen - voor elk gegeven punt één - met vier onbekenden. Uit dat stelsel van vergelijkingen reken je de onbekenden (a, b, c en r) uit. Als je die weer invult in de eerste vergelijking, krijg je de vergelijking voor de bol die je zocht! Succes!

Bernhard
5-1-2009