WisFaq!

Het bewijzen van een bepaalde bijzondere eigenschap van derdegraadsfunctie

Ik ben bezig met een PO voor wiskunde B1 over derdegraadsfuncties. Het PO gaat over het feit dat als je de raaklijn neemt van het punt wat tussen 2 van de nulpunten ligt, die raaklijn door het derde nulpunt loopt. Ik weet dat er al eerder een vraag over gesteld is op dit forum, maar daarmee liep ik alsnog een beetje vast.
Ik heb een aantal opdrachten over het verschijnsel gemaakt, en nu is het de bedoeling dat ik het ga bewijzen met behulp van de functie:
F(x)=a(x-b)(x-c)(x-d)

Het probleem voor mij is dat ik niet zeker weet wat nou precies de afgeleide is van deze functie. Met getallen heb ik absoluut geen moeite met het berekenen van de afgeleide functie, maar met die letters ben ik het een beetje kwijt.
Kan iemand me helpen?
En hoe ga je verder nadat je de afgeleide berekend hebt? Want normaal vul je dan de X-coördinaat van het punt dat door de raaklijn geraakt wordt in, maar in dit geval heb ik geen idee welk punt dat is... Of is het soms de bedoeling dat je de letters vervangt door getallen? Dat zou t naar mijn idee wel heel erg makkelijk maken, want dan had je net zo goed die hele letters weg kunnen laten.
In ieder geval, alvast bedankt.

Anouck
1-1-2009

Antwoord

Anouck,
Als f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d),dan is f'(x)=a(x-c)(x-d)+a(x-b)(x-d)+a(x-b)(x-c).
Kies een punt tussen b en c,zeg x(0).De vergelijking van de raaklijn door
(x(0),f(x(0)))aan de kromme is y=f(x(0))+f'(x(0))(x-x(0)).Neem x=d in deze vergelijking en laat zien dat y=0 voor x(0)=(b+c)/2.

kn
1-1-2009