WisFaq!

Groep van order 165

Beste wisfaq,

Ik zit met het volgende probeem. Gegeven is een groep G met |G|=165. Ik moet aantonen dat

(1) G een normale Sylow 11-deelgroep N heeft
(2) G een normale Sylow 3-deelgroep heeft
(3) Dat G isomorf is aan Z_165 of Z_3 x N waar N een unieke niet abelse semidirect product van order 55 is.

Ik heb tot nu toe het volgende gedaan:

(1) is niet zo moeilijk: we hebben |G|=165 = 3*5*11. Zij n nu het aantal Sylow 11-deelgroepen van G. Dan n|15 en 11|n-1, dus n=1. Het volgt dat G een unieke Sylow 11-deelgroep N heeft die daarom normaal is in G en verder dat G/N een groep van order 15 is.

(2) Als hint is hier gegeven: Na (1) te hebben bewezen, toon aan dat G/N een normale Sylow 3-deelgroep H/N heeft. Bewijs dat H isomorf is aan Z_33 en dat een Sylow 3-deelgroep van H normaal is in G.

Van (1) weten we dat G/N een groep van order 15 is. Aangezien |G/N|=15=3*5 volgt het dat G/N een Sylow 3-deelgroep heeft.

Het aantal conjugates van deze deelgroep deelt 5 en is congruent 1 modulo 3, dus de de Sylow 3-deelgroep van N is normaal en ook centraal aangezien 5 geen deler is van 3-1. Het volgt dat G/N abels is en dus isomorf is aan Z_5 x Z_3. (aangezien de sylow deelgroepen beide cyclisch en central zijn).

Dit is waar ik vast zit en het lukt me ook niet echt om de hint te gebruiken. Ik hoop dat jullie me hiermee verder kunnen helpen. Verder vroeg ik me af of er misschien nog tips zijn voor dit soort vraagstukken. Ik vind het namelijk het gevoel dat ook al oefen ik veel met dit soort vragen ik niet echt veel beter ben geworden in het oplossen ervan. Ik heb daarnaast ook al een redelijk aantal voorbeelden bekeken maar het lukt me niet echt de technieken daarin op dit probleem toe te passen.

Vriendelijke groet,

Herman de vries

Herman de vries
8-12-2008

Antwoord

Je bent op de goede weg. Noem de Sylow 3-ondergroep van G/N maar even K en neem dan H = {g:gN in K}; dat is een ondergroep van G en H/N=K. Als a in G een element van orde 3 is dan is aN een element van G/N van orde 3, dus aN in K en dus a in H. Maar: H heeft maar één Sylow 3-ondergroep, noem die I, dus a in I. We kunnen I opschrijven: I = {e,a,a²}; conjugatie bewaard orde dus I is ook normaal in G en dus de enige Sylow 3-ondergroep van G.
Bekijk nu J={g in G: ga=ag } en ga na dat dat een ondergroep met 55 elementen is en G=IxJ.

kphart
16-12-2008