WisFaq!

Berekenen van een functie die langs alle toppen van een gegeven functie gaat

Wij zijn bezig met het wiskundig beschrijven van een weegschaal. Door middel van een tweede orde differentiaalvergelijking zijn we op een functie gekomen die de uitwijking van de plaat van de weegschaal beschrijft. Mijn vraag is nu: hoe bepaal ik de functie die langs alle toppen van de functie van de uitwijking gaat.

De functie van de uitwijking:
981/63350*exp(-1/2*t)*cos(1/4*3797^(1/2)*t)+4635769268074291/9223372036854775808*exp(-1/2*t)*sin(1/4*3797^(1/2)*t)-981/63350

Nu denkt u: wat is dit! Maar in deze functie zijn veel randvoorwaardes genomen die bepalend zijn voor alle enorme getallen. In principe komt het op het volgende neer: de grafiek van deze functie geeft een uitwijking aan tegen de tijd. Het is een schommeling met evenwichtsstand -981/66350 (de laatste term in de functie). De amplitude wordt steeds kleiner en uiteindelijk wordt deze amplitude 0, oftewel je krijgt een horizontale lijn door de evenwichtsstand.

Welnu mijn vraag: is er een functie te berekenen die door alle minima van onze functie gaat?

Als u mijn verhaal niet echt snapt kan ik misschien de grafiek met daarin de lijn langs de minima e-mailen?

Bij voorbaat dank voor u tijd.

Djarek van den Hoogen
25-11-2008

Antwoord

Beste Djarek,
Je zou je formule best wat kunnen vereenvoudigen.
Ten eerste, die hele grote getallen geven een schijnbare nauwkeurigheid die in jouw experiment echt niet te verantwoorden zijn.
981/63350 zou je best kunnen vereenvoudigen tot 0,0155 en 1/4*3797^(1/2) is ongeveer 15,4
Je krijg dan: 0,0155*e^(-0,5t)*cos(15,4t)+5,03*10^(-4)*e^(-0,5t)*sin(15,4t)-0,0155

Je kan het algebraisch ook wat vereenvoudigen tot:
e^(-0,5t)*{a*cos(15,4t)+b*sin(15,4t)}-a, met a=0,0155 en b=5,04*10^(-4)
Nu ken je misschien de formule:
p*sin(x)+q*cos(x)=c*sin(x+F), waarin c=SQRT(p²+q²) en F=arctan(p/q)
Daarmee kan je jouw formule omwerken tot:
e^(-0,5t)*SQRT(a²+b²)*sin(15,4t+F)-a, met F=arctan(b/a)
Zonder die factor e^(-0,5t) is dat een gewone sinusfunctie.
Door de vermenigvuldiging met e^(-0,5t) wordt het een gedempte sinusfunctie.
De minima liggen ongeveer op de lijn
-SQRT(a²+b²)*e^(-0,5t)-a

Was dat de bedoeling?
Succes, Lieke.

ldr
26-11-2008